基本概念微分方程指的是：含有未知函数及其导数的方程例如设未知函数为 yy ，则下面的例子 (1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4) 都是关于函数 yy 微分方程[1]：(1)dydx=5x+3rac{{dy}}{{dx}} = 5x + 3 ag{1}

(2)d3ydx3+(sin⁡x)d2ydx2+5xy=0rac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}} + left( {sin x} ight)rac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} + 5xy = 0 ag{2}

(3)(d2ydx2)3+3y(dydx)7+y3(dydx)2=5x{left( {rac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}} ight)^3} + 3y{left( {rac{{dy}}{{dx}}} ight)^7} + {y^3}{left( {rac{{dy}}{{dx}}} ight)^2} = 5x ag{3}

(4)∂2y∂t2−4∂2y∂x2=0rac{{{partial ^2}y}}{{partial {t^2}}} - 4rac{{{partial ^2}y}}{{partial {x^2}}} = 0 ag{4}

常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）指的是：仅含有一个独立变量的微分方程如果微分方程中的未知函数包含两个或两个以上的独立变量，则该微分方程为偏微分方程例如上面例子 。

(1)(2)(3)(1)(2)(3) 就是常微分方程，因为只包含一个独立变量 xx ；而例子 (4)(4) 中包含两个自变量 tt 和 xx ，所以是偏微分方程微分方程的阶数取决于方程中出现的最高次导数阶数。

例如，上面例子 (2)(2) 是三阶常微分方程，而例子 (3)(3) 最高阶导数的阶数为 22 ，所以是二阶常微分方程特解指的是满足微分方程的某一个解；通解指的是满足微分方程的一组解一些微分方程有无穷多解，而有的微分方程无解，有的微分方程则仅有有限个解。

初值问题和边界值问题在给微分方程添加附加条件时，如果附加条件中未知函数及其导数的独立变量取值相同，则为初值问题；如果附加条件中未知函数及其导数的独立变量取值不同，则为边界值问题例如，例子 (5)(5) 是初值问题；例子

(6)(6) 为边界值问题(5)y″+2y′=ex;y(π)=1;y′(π)=2y + 2y = {e^x};yleft( pi ight) = 1;yleft( pi ight) = 2 ag{5}。

(6)y″+2y′=ex;y(0)=1;y′(1)=1y + 2y = {e^x};yleft( 0 ight) = 1;yleft( 1 ight) = 1 ag{6}一个初值问题或边界值问题的解

y(x)y(x) 不仅要满足微分方程，还要满足所有附加条件一阶微分方程的常见形式标准及微分形式一阶微分方程的标准形式是：(7)y′=f(x,y)[y = fleft( {x,y} ight) ag{7}]。

其中，微分部分仅出现在方程的左侧大部分（不是所有）一阶微分方程都可以通过代数方法写为以上形式上式的右侧也可以写为两个函数 M(x,y)M(x, y) 和 −N(x,y)-N(x, y) 的商的形式那么整体就可写为。

微分形式：(8)dydx=M(x,y)−N(x,y)M(x,y)dx+N(x,y)dy=0[egin{gathered} ;rac{{dy}}{{dx}} = rac{{Mleft( {x,y} ight)}}{{ - Nleft( {x,y} ight)}} hfill \\ Mleft( {x,y} ight)dx + Nleft( {x,y} ight)dy = 0 hfill \ end{gathered} ag{8}]

2. 线性方程对于一阶方程的标准形式，如果标准形式的右侧 f(x,y)f (x, y) 可以写为:(9)f(x,y)=−p(x)y+q(x)[fleft( {x,y} ight) = - pleft( x ight)y + qleft( x ight) ag{9}]

即，一个关于 xx 的函数乘以 yy ，再加上一个关于 xx 的函数那么该微分方程即为线性微分方程，一阶线性微分方程可以写为以下形式：(10)y′+p(x)y=q(x)[y + pleft( x ight)y = qleft( x ight) ag{10}]。

3. 伯努利方程伯努利方程是具有以下形式的微分方程：(11)y′+p(x)y=q(x)yn[y + pleft( x ight)y = qleft( x ight){y^n} ag{11}]

其中， nn 为实数当 n=0n=0 或 n=1n=1 时，伯努利方程将退化为线性方程形式4. 齐次方程对于一阶微分方程，如果对于任意实数 tt 满足：(12)f(tx,ty)=f(x,y)[fleft( {tx,ty} ight) = fleft( {x,y} ight) ag{12}]。

则为齐次方程注意：此处的“齐次”概念狭义上仅针对一阶微分方程成立，且与齐次线性微分方程中的“齐次”并非同一概念，注意区分5. 可分离变量方程对于前面提到的微分方程的微分形式：(13)M(x,y)dx+N

(x,y)dy=0Mleft( {x,y} ight)dx + Nleft( {x,y} ight)dy = 0 ag{13}如果其满足 M(x,y)=M(x)M(x, y)=M(x) （即为只与

xx 有关的函数）和 N(x,y)=N(y)N(x, y)=N(y) （即为只与 yy 有关的函数）那么该微分方程即为可分离变量的微分方程(14)M(x)dx+N(y)dy=0Mleft( {x} ight)dx + N left( {y} ight)dy = 0 ag{14}。

6. 恰当方程对于微分方程的微分形式式 (13)(13) ，如果满足以下条件： (15)∂M(x,y)∂y=∂N(x,y)∂x[rac{{partial Mleft( {x,y} ight)}}{{partial y}} = rac{{partial Nleft( {x,y} ight)}}{{partial x}} ag{15}]

则称其为恰当方程以上五类一阶微分方程的详细解法请见下一篇：微分方程(2)-一阶常微分方程的解法参考^Richard Bronson. Outline of Theory and Problems of Differential Equations, Second Edition. 2003.。