谢邀在Asiancrypt 2015投稿日期之前，想最后回答一个知乎问题，后面要专心学术了哈既然是半年来的最后一个问题，肯定要选一个合适的知乎上面被邀请回答了这个问题，正好和我后面要做的研究相关，而且这个问题我自己也已经挖坑很久了。

因此，这次算是来填坑了~在回答问题之前，给出一些温馨提示：首先，同态加密特别适合在云计算（Cloud Computing）中得以应用而知乎er们应该有好多Computer Science专业的同学，而这其中又有很多将致力于云计算的研究。

因此，我的回答会尽量通俗易懂大家各取所需，其乐融融嘛当然了，比我水平再高的知乎er们我就没法呈现更棒的答案了，欢迎帮我补充，同时欢迎一起讨论一起研究我分3个层次进行回答：概览和基本概念这一部分争取做到大家都能看的很明白，从而多多支持我们的研究，给funding啊！。

定义、安全性和简单实例这一部分呈现给有一点密码学基础，同时对代数学有一定基础的知乎er们安全假设和构造概览这一部分呈现给致力于同态加密及其相关研究的知乎er们，做到抛砖引玉的作用其次，同态加密的安全模型、构造以及安全性证明，乃至安全性假设，都是密码学近10年提出的知识。

因此现在市面上还没有相关的教材和比较权威的介绍所以我的介绍主要来源于：（1）论文；（2）公开课，特别是Bar-Ilan University在2012年组织的Winter School；（3）我自己和导师的交流。

我会给出全部资料的链接，有兴趣的知乎er们可以进行查阅，并进一步进行学习最后，一些感谢的话感谢帮我画答案中插图的杨柳飔同学她是我的小学同学，好朋友，也是邻居啦，现在在清华美院读研究生考虑到我自己画图学术气息太浓，这次特意请她帮我画了插图，水平很高哦！。

感谢“知乎密码学交流群”的全体成员们自群成立以来，大家一直在群里讨论各种密码学的问题这个题我说想答，也得到了他们的大力支持包括 @玄星， @钱宸， @秦飞， @Laughing man， @刘健， @edwardz

等特别是 @edwardz 同学，现在正在研究Lattice-Based Cryptography，很厉害的！ ==============================一、 概览：同态加密的概念。

同态加密（Homomorphic Encryption）是很久以前密码学界就提出来的一个Open Problem早在1978年，Ron Rivest, Leonard Adleman, 以及Michael L. Dertouzos就以银行为应用背景提出了这个概念[RAD78]。

对，你没有看错，Ron Rivest和Leonard Adleman分别就是著名的RSA算法中的R和A至于中间的S，Adi Shamir，现在仍然在为密码学贡献新的工作什么是同态加密？提出第一个构造出全同态加密

（Fully Homomorphic Encryption）[Gen09]的Craig Gentry给出的直观定义最好：A way to delegate processing of your data, without giving away access to it.

这是什么意思呢？一般的加密方案关注的都是数据存储安全即，我要给其他人发个加密的东西，或者要在计算机或者其他服务器上存一个东西，我要对数据进行加密后在发送或者存储没有密钥的用户，不可能从加密结果中得到有关原始数据的任何信息。

只有拥有密钥的用户才能够正确解密，得到原始的内容我们注意到，这个过程中用户是不能对加密结果做任何操作的，只能进行存储、传输对加密结果做任何操作，都将会导致错误的解密，甚至解密失败同态加密方案最有趣的地方在于，其关注的是。

数据处理安全同态加密提供了一种对加密数据进行处理的功能也就是说，其他人可以对加密数据进行处理，但是处理过程不会泄露任何原始内容同时，拥有密钥的用户对处理过的数据进行解密后，得到的正好是处理后的结果有点抽象？我们举个实际生活中的例子。

有个叫Alice的用户买到了一大块金子，她想让工人把这块金子打造成一个项链但是工人在打造的过程中有可能会偷金子啊，毕竟就是一克金子也值很多钱的说… 因此能不能有一种方法，让工人可以对金块进行加工（delegate processing of your data），但是不能得到任何金子（without giving away access to it）？当然有办法啦，Alice可以这么做：。

Alice将金子锁在一个密闭的盒子里面，这个盒子安装了一个手套工人可以带着这个手套，对盒子内部的金子进行处理但是盒子是锁着的，所以工人不仅拿不到金块，连处理过程中掉下的任何金子都拿不到加工完成后Alice拿回这个盒子，把锁打开，就得到了金子。

这个盒子的样子大概是这样的：

这里面的对应关系是：盒子：加密算法盒子上的锁：用户密钥将金块放在盒子里面并且用锁锁上：将数据用同态加密方案进行加密加工：应用同态特性，在无法取得数据的条件下直接对加密结果进行处理开锁：对结果进行解密，直接得到处理后的结果

同态加密哪里能用？这几年不是提了个云计算的概念嘛同态加密几乎就是为云计算而量身打造的！我们考虑下面的情景：一个用户想要处理一个数据，但是他的计算机计算能力较弱这个用户可以使用云计算的概念，让云来帮助他进行处理而得到结果。

但是如果直接将数据交给云，无法保证安全性啊！于是，他可以使用同态加密，然后让云来对加密数据进行直接处理，并将处理结果返回给他这样一来：用户向云服务商付款，得到了处理的结果；云服务商挣到了费用，并在不知道用户数据的前提下正确处理了数据；

这方法简直完美啊有没有？！但是，这么好的特性肯定会带来一些缺点同态加密现在最需要解决的问题在于：效率效率一词包含两个方面，一个是加密数据的处理速度，一个是这个加密方案的数据存储量我们可以直观地想一想这个问题：。

工人戴着手套加工金子，肯定没有直接加工来得快嘛~ 也就是说，隔着手套处理，精准度会变差（现有构造会有误差传递问题），加工的时间也会变得更长（密文的操作花费更长的时间），工人需要隔着操作，因此也需要更专业（会正确调用算法）。

金子放在盒子里面，为了操作，总得做一个稍微大一点的盒子吧，要不然手操作不开啊（存储空间问题）里面也要放各种工具吧，什么电钻啦，锉刀啦，也需要空间吧？这种加密方案真的有在研究？我举3个简单的例子：第一个构造出全同态加密方案的人是Gentry，这是他在Stanford攻读博士学位的研究成果。

Gentry毕业后去哪里了呢？IBM大家知道IBM可是一个云服务提供商啊！在IBM，Gentry和另一个密码学大牛Halevi继续进行同态加密及其相关的研究，并实现了一些同态加密方案如果IBM真的做出了可以在实际使用的同态加密方案，那么其他云服务提供商就可以拜拜了啊！这游戏不用玩了啊，人家能在不知道数据内容得前提下处理数据啊，毕竟谁都不想把数据泄露给其他公司啊！。

国内的某个大公司（具体是哪个我就不透露了…）对这方面的研究非常感兴趣，我也和他们做了一次交流，并且初步达成了一定的研究大方向要不怎么我现在也去弄这个头大的东西呢要知道，国内的公司也没闲着，这是制高点，拿到了就是一家独大，而且是超级技术垄断，不公开源代码或者不了解内部构造的话想仿造都仿造不了啊…不过，这方面的研究说实话Gap确实大，入门起码要3个月的时间，还不一定做的出来…。

即使没有实现全同态加密，也可以得到其他一些很有趣的结论而每一个结论都可能引发技术垄断这些结论由于涉及到了一定的基础知识，我在后面中会进行介绍业界如何评价全同态加密的构造？在此引用一个前辈的话：如果未来真的做出了Practical Fully Homomorphic Encryption，那么Gentry一定可以得到图灵奖。

剩下的，我也就不用多说了吧… ==============================二、 同态加密的定义、安全性和简单实例下面的内容，如果可以接受符号表述，具有一点密码学的知识，对抽象代数有一定的了解的话，可能体会的更深刻哦。

同态加密具体如何定义？我们在云计算应用场景下面进行介绍：

Alice通过Cloud，以Homomorphic Encryption（以下简称HE）处理数据的整个处理过程大致是这样的：Alice对数据进行加密并把加密后的数据发送给Cloud；Alice向Cloud提交数据的处理方法，这里用函数f来表示；。

Cloud在函数f下对数据进行处理，并且将处理后的结果发送给Alice；Alice对数据进行解密，得到结果据此，我们可以很直观的得到一个HE方案应该拥有的函数：KeyGen函数：密钥生成函数这个函数应该由Alice运行，用于产生加密数据Data所用的密钥Key。

当然了，应该还有一些公开常数PP（Public Parameter）；Encrypt函数：加密函数这个函数也应该由Alice运行，用Key对用户数据Data进行加密，得到密文CT（Ciphertext）；。

Evaluate函数：评估函数这个函数由Cloud运行，在用户给定的数据处理方法f下，对密文进行操作，使得结果相当于用户用密钥Key对f(Data)进行加密Decrypt函数：解密函数这个函数由Alice运行，用于得到Cloud处理的结果f(Data)。

那么，f应该是什么样子的呢？HE方案是支持任意的数据处理方法f？还是说只支持满足一定条件的f呢？根据f的限制条件不同，HE方案实际上分为了两类：Fully Homomorphic Encryption (FHE)：这意味着HE方案支持任意给定的f函数，只要这个f函数可以通过算法描述，用计算机实现。

显然，FHE方案是一个非常棒的方案，但是计算开销极大，暂时还无法在实际中使用Somewhat Homomorphic Encryption (SWHE)：这意味着HE方案只支持一些特定的f函数SWHE方案稍弱，但也意味着开销会变得较小，容易实现，现在已经可以在实际中使用。

什么叫做安全的HE？HE方案的最基本安全性是语义安全性（Semantic Security）直观地说，就是密文（Ciphertext）不泄露明文（Plaintext）中的任意信息这里密文的意思就是加密后的结果；明文的意思就是原始的数据。

如果用公式表述的话，为：∀m0,m1,Encrypt(PK,m0)≈Encrypt(PK,m1)orall m_0, m_1, extbf{Encrypt}(PK, m_0) pprox extbf{Encrypt}(PK, m_1)

这里PK代表公钥（Public Key），是非对称加密体制中可以公开的一个量公式中的"约等于"符号，意味着多项式不可区分性，即不存在高效的算法，可以区分两个结果，即使已知m0, m1和PK有人说了，这怎么可能？我已经知道m0, m1了，我看到加密结果后，对m0或者m1在执行一次加密算法，然后看哪个结果和给定结果相同不就完了？注意了，加密算法中还用到一个很重要的量：随机数。

也就是说，对于同样的明文m进行加密，得到的结果都不一样，即一个明文可以对应多个密文（many ciphertexts per plaintext）在密码学中，还有更强的安全性定义，叫做选择密文安全性（Chosen Ciphertext Security）。

选择密文安全性分为非适应性（None-Adaptively）和适应性（Adaptively），也就是CCA1和CCA2 @一大坨的答案中已经间接提到了，HE方案是不可能做到CCA2安全的那么，HE方案能不能做到CCA1安全呢？至今还没有CCA1安全的FHE方案，但是在2010年，密码学家们就已经构造出了CCA1的SWHE方案了[LMSV10]。

HE方案还有一方面的安全性，就是函数f是不是也可以保密呢？这样的话HE就更厉害了！Cloud不仅不能够得到数据本身的内容，现在连数据怎么处理的都不知道，只能按照给定的算法执行，然后返回的结果就是用户想要的结果。

如果HE方案满足这样的条件，我们称这个HE方案具有Function-Privacy特性不过，仅我个人所了解到的，现在还没有Function-privacy FHE，甚至Function-privacy SWHE也没有。

不过，Function-privacy引入了另一个很有趣的概念，那就是我们能不能反过来，就做到Function-privacy，但是不用做到数据隐私呢？这其实也有很好的应用场景：比如一个天才设计了一个算法（想象Jeffrey Dean设计了历史上第一个O(1/n)复杂度算法，或者设计了一个O(n^2)算法，但是是用来解决旅行商问题的），但是他不想把这个算法公开。

他只提供一个程序，这个程序不泄露任何算法本身的内容，人们只能调用这个算法，然后得到输出的结果这个特别像什么？对啦，就是程序的编译与反编译嘛如果Function-privacy的加密设计出来了，那么计算机科学家们就可以一劳永逸地阻止程序反编译，甚至连破解都杜绝了。

满足这样条件的加密方案，即，给算法加密的方案，叫做Obfuscation很遗憾，2001年，密码学家们已经证明，不可能实现严格意义上的Obfuscation [BGIRSVY01]但是，可以做到一个称为Indistinguishability Obfuscation的东西。

这个东西是密码学家们研究同态加密过程中的一个产物，现在已经有了一些候选方案了[GGHRSB13]这个就不展开说了，是另一个领域的内容举个SWHE的例子？在2009年Graig Gentry给出FHE的构造前，很多加密方案都具有Somewhat Homomorphism的性质。

实际上，最最经典的RSA加密，其本身对于乘法运算就具有同态性Elgamal加密方案同样对乘法具有同态性Paillier在1999年提出的加密方案也具有同态性，而且是可证明安全的加密方案哦！后面还有很多啦，比如Boneh-Goh-Nissim方案[BGN05], Ishai-Paskin方案等等。

不过呢，2009年前的HE方案要不只具有加同态性，要不只具有乘同态性，但是不能同时具有加同态和乘同态这种同态性用处就不大了，只能作为一个性质，这类方案的同态性一般也不会在实际中使用的在此我们看一下Elgamal加密方案，看看怎么个具有乘同态特性。

Elgamal加密方案的密文形式为：CT=(C1,C2)=(gr,hr⋅m)CT=(C_1, C_2)=(g^r,h^r cdot m)其中r是加密过程中选的一个随机数，g是一个生成元，h是公钥如果我们有两个密文：。

CT1=(gr1,hr1⋅m1),CT2=(gr2,hr2⋅m2)CT_1 = (g^{r_1},h^{r_1} cdot m_1), CT_2 = (g^{r_2},h^{r_2} cdot m_2)

我们把这两个密文的第一部分相乘，第二部分相乘，会得到：CT=(gr1⋅gr2,hr1⋅m1⋅hr2⋅m2)=(gr1+r2,hr1+r2⋅m1m2)CT= (g^{r_1} cdot g^{r_2},h^{r_1} cdot m_1 cdot h^{r_2} cdot m_2)=(g^{r_1 + r_2}, h^{r_1 + r_2} cdot m_1m_2)

也就是说，相乘以后的密文正好是m1m2所对应的密文这样，用户解密后得到的就是m1m2的结果了而且注意，整个运算过程只涉及到密文和公钥，运算过程不需要知道m1m2的确切值所以我们说Elgamal具有乘同态性质。

但是很遗憾，其没有加同态性质HE的效率如何？2011年，Gentry和Halevi在IBM尝试实现了两个HE方案：Smart-Vercauteren的SWHE方案[SV10]以及Gentry的FHE方案[Gen09]，并公布了效率。

结果如何呢？我们给出Gentry公布的数据（原始数据可以在2nd Bar-Ilan Winter School on Cryptography找到）Smart-Vercauteren的SWHE方案效率如下：

看着好像还行，不过这Dimension有点夸张啊…也就是说公钥很长…那么，Gentry的FHE方案如何呢？效率如下：

公钥2.3GB，KeyGen需要2个小时，也是醉了…==============================三、 现有HE方案的安全假设和构造概览如果你致力于HE的研究，我们给出一些可用的资料如何证明HE方案的安全性？。

对于现在的密码学方案，安全性证明要把它规约到解决一个公开的困难问题上简单地说，就是如果方案被破解了，那么攻击者可以用破解算法解决一个困难问题然而，由于这个困难问题还没有找到高效的（多项式复杂度的）算法，因此方案是安全的。

那么，2009年以后的HE方案是建立在哪个困难问题上呢？是一个被称作Learning With Errors（LWE）的困难问题[Reg05]后来，随着另一个新的工具出现，密码学家们又致力于基于Ring Learning With Errors（Ring-LWE）问题的HE构造[LPR10]。

Ring-LWE涉及到抽象代数中Ring以及Ideal的概念，稍显复杂我们这里简单介绍一下LWE问题，Ring-LWE问题和它有点像LWE问题分为两类，一个叫做Search-LWE，一个叫做Decision-LWE。

Search-LWE可以简单地用下图来表示，其中A是一个m*n的矩阵，由Zp中的元素组成；s是一个n维向量；e是一个m维向量；b是一个m维向量：

这个问题大致为：选择一个秘密（secret）值s，并选择一个范数很小的扰乱（error）向量e，计算b = As + e mod q这个问题是：只给定矩阵A和计算的结果b（图中红色部分），不给定s和e（途中蓝色部分），反过来求秘密值s的大小。

Decision-LWE问题有点类似：给定A和b，算法需要判断，b是由某个s通过As + e计算得来的呢，还是就是一个随机量呢？这里有几个小问题：m和n有多大？这取决于我们要求安全度有多高了实际上这还取决于一些其他因素。

e的范数要多么小？LWE要求e的取值要满足离散高斯分布（Discrete Gaussian Distribution）怎么想到的这么个问题？实际上，LWE问题是Lattice中的一个问题Lattice是什么呢？这个展开说就有点累了…。

如果知乎er们想了解更多有关Abstract Algebra，Lattice，以及LWE的内容，下面的三个材料是可以阅读的：Harvard Extension School的Abstract Algebra课程。

这门课可以帮助快速入门Abstract Algebra当然了，这可是Harvard学生的本科课程哦Abstract Algebra2nd Bar-Ilan Winter School on Cryptography。

Bar-llan大学自2011年开始每年都组织一次密码学的Winter School，请的都是大牛啊！2012年的主题是Lattice-Based Cryptography，2013年的主题是Pairing-Based Cryptography。

2015年2月，新的一轮Winter School就开始了，知乎上 @刘健 同学要去听的哦，羡慕嫉妒恨呢！2nd Bar-Ilan Winter School on CryptographyOded Regev的Lecture Notes on Lattice。

Regev是谁？是他提出的LWE和Ring-LWE，所以他课程的材料当然有价值一听Lattices in Computer Science (Fall 2009)介绍一下构造FHE的思路？FHE最重要的一点是Fully，就是说要支持任意的函数f。

因此我们也可以很明显看出，想要构造FHE，就需要了解计算机是如何计算的一般来说，我们有两种思路：从计算机原理考虑计算机无论做何种运算，归根到底都是位运算那么，计算机至少要支持哪些位运算，才能够支持所有的运算呢？实际上，一个计算机只要支持逻辑与运算（AND），以及异或运算（XOR），那么这个计算机理论上就可以实现计算机的其他运算了（我们称之为。

图灵完备性，Turing Completeness）从抽象代数考虑我们只需要加法和乘法就可以完成全部运算了但其实更严格的说，只要我们在一个域（Field）上构造HE，理论上我们就可以支持所有的f基于LWE问题的FHE只能针对1 bit进行加密，因此现在的构造都是从计算机原理考虑。

也就是在bit的层面上实现FHE方案，或者更严谨地说，从电路层（Circuit）实现FHE方案具体构造呢，大家刻意参考下面给出的参考文献了实话实说，我自己也没有都消化，或者更严格地说，Regev的LWE构造论文我还没有完全看明白。

因此，我在此也号召密码学爱好者一起研究啦~==============================以上==============================参考文献[RAD78] Ron Rivest, Leonard Adleman, and Michael L. Dertouzos. On data banks and privacy homomorphisms. Foundations of Secure Computation, 1978.。

[Gen09] Craig Gentry. Fully homomorphic encryption using ideal lattices. STOC 2009. Also, see “A fully

homomorphic encryption scheme”, PhD thesis, Stanford University, 2009.[LMSV10] Jake Loftus, Alexander May, Nigel P. Smart, and Frederik Vercauteren. On CCA-Secure Fully Homomorphic Encryption. Cryptology ePrint Archive 2010/560.

[BGIRSVY01] Boaz Barak, Oded Goldreich, Russell Impagliazzo, Steven Rudich, Amit Sahai, Salil Vadhan, and Key Yang. On the (Im)possibility of Obfuscating Programs. Crypto 2001.

[GGHRSB13] Sanjam Garg, CraigGentry, Shai Halevi, MarianaRaykova, Amit Sahai, and Brent Waters. Candidate indistinguishability

obfuscation and functional encryption for all circuits. Foundations of Computer Science, 2013.[Paillier99] Pascal Paillier. Public-Key Cryptosystems Based on Composite Degree Residuosity Classes. Eurocrypt 1999.

[BGN05] Dan Boneh, Eu-Jin Goh, and Kobbi Nissim. Evaluating 2-DNF formulas on ciphertexts. TCC 2005.[GH11a] Craig Gentry and Shai Halevi. Implementing gentry’s fully-homomorphic encryption scheme. Eurocrypt 2011.

[SV10] Nigel P. Smart and Frederik Vercauteren. Fully homomorphic encryption with relatively small key and ciphertext sizes. PKC 2010.

[Reg05] Oded Regev. On lattices, learning with errors, random linear codes, and cryptography. STOC 2005.

[LPR10] Vadim Lyubashevsky, Chris Peikert, and Oded Regev. On ideal lattices and learning with errors over rings. Eurocrypt 2010.