人类通常的观念认为事物必须具有最基本的结构，在此基础上才能逐渐丰富并变得越来越复杂因此人类首先发明了最基本的单位“1”，“1”的发明是数学理论的开端而基本单位要形成复杂结构，必须通过某种操作进行组合，于是人类又发明了“加减乘除”四种运算。

通过对数字“1”的无穷无尽的运算人类陆续发现了自然数、负数、整数、奇数、偶数、完美数、素数、代数数、有理数、无理数、超越数、超限数、实数、虚数、复数等一系列数系纵观“数”的发展史，我们会发现数系的发现与人类的认知的发展有很大的关联性。

最初人们只知道数是一系列从1开始逐渐变大的数，这些数整齐的排列在一维数轴上，间隔相等，数量无穷，这些数就是自然数数字“0”是在人类使用自然数很久之后才出现的，在古印度，人们发明了九个梵文词汇代表从1到9的数字，当描述超过9的数时，就进位到新的位置，再次从1开始数起，但是当表示“十”时，1后面就有一个空缺下来的位置，这个位置什么都没有，是空的。

当时印度正盛行佛教，在佛教大乘空宗的影响下，就引入了梵文Sūnya来表示这个数，Sūnya的意思就是“空”后来这个数在公元500年左右被传入古罗马，但是罗马教义中认为，上帝创造的数中没有“0”这个怪物，它的出现是在亵渎上帝，于是罗马教皇不但残忍的给引进“0”的学者加了酷刑，还明令禁止了“0”的使用。

但是“0”的使用仍旧在当时的数学界秘密进行，它也为数学的发展做出了重要的贡献实践证明，数学中不能缺少“0”，因为“0”不仅是唯一的中性数，也是正数与负数的分界点，是坐标轴的原点，没有“0”就无法建立坐标系，整个几何大厦都会坍塌。

分数的出现相对自然，原始人类发现在分配猎物时，如果3个人分2件猎物，每个人就不再能分到整个的猎物？于是分数就产生了随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降。

为了表示这样的量，就产生了负数正整数、负整数和零，统称为整数如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数对应有理数的就是无理数了，无理数的发现非常偶然在公元前500多年的希腊，出现了一个毕达哥拉斯学派，他们认为“数”是万物的本源，支配整个自然界和人类社会，因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界之所以美好和谐的源泉。

但是有一天，学派中一个叫希帕索斯的学生意外的发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用任何分数表示这个数肯定是存在的，可用已有的数无法表示它这个数的出现动摇了毕达哥拉斯学派的哲学根基，他们为了保住支撑世界的数学大厦不要坍塌，残忍的将希帕索斯扔进了大海并严守秘密。

然而真理是藏不住的，人们后来发现越来越多这样的数，这就是无理数有理数与无理数统称为实数至此，人们认为所有的数都已经被发现，实数系已经被这些数填满，再没有任何遗漏了 但是事实证明，这只是人们一厢情愿的假设。

数学家在研究实数系统内各种数集之间的对应关系时，发现虽然自然数及实数都是无穷多的，但是它们之间却不能建立起一一对应的联系，也就是说实数中肯定还存在一种隐形的数，他们是不可列的，后来发现这种数是超越数目前我们发现的超越数也只有圆周率。

π和自然对数的底e以及与它们相关的极少数，无穷多的超越数仍然隐匿在实数的海洋中有待发掘我们目前只知道e可以表示成分母有规律变化的连分数，但π却不能超越数的规则到底是什么，超越数是否还可以进一步分类，这些都是数论中仍未解开的谜。

既然实数比自然数更多，那么实数的无穷就是比自然数更大的无穷如此看来，自然界存在着不同大小的无穷，如果把这些“无穷大”按照大小排列起来，就构成了超限数系，在这个数系中每个数都是无穷的，但是却是不同大小的无穷。

康托尔一直尝试证明在自然数与实数的无穷之间有没有别的无穷存在，这就是著名的连续统假设，若没有其它无穷存在，则连续统假设为真，反之，则连续统假设为假令人意想不到的是康托尔的所有努力都必将付诸东流，因为连续统假设在包含选择公理的系统中既不可能被证明也不可能被证伪，而选择公理正是我们作为常识性公理而经常默认加以应用的，它的大概意思就是说：“假如有无限堆的苹果，我们能从每一堆苹果中选择一个组成一个新的苹果堆”。

这个看似简单且肯定正确的公理其实关系着数学的基础认可这个公理，连续统假设就不可证明，即我们永远说不清楚自然数的无穷与实数的无穷之间到底有没有其它的无穷不认可这个公理，连续统假设就是错误的，即自然数的无穷与实数的无穷之间还有更多层次的无穷，并且这样的无穷的数量是无穷无尽的。

关于连续统假设的争论一直没有中断，首先“选择公理”到底是不是正确的，它能不能通过更基本的公理证明？其次真正影响连续统假设的到底是不是选择公理，加入“选择公理”的“连续统假设”就一定不能得到证明吗？这些问题后来又有了各种不同的观点及论证，我个人认为问题的关键在。

可数性，我们通常意义上的无穷是建立在这个基础之上的，即我们能够将连续的数转变为离散的数并一个一个的数出来，这也是我的一个重要观点：“离散性不是抽象世界及物理世界的基础属性，而是观察者与观察过程的基础属性，被观察对象的连续性永远根据观察者的尺度表现为不同精度的离散性，我们观察到的物理世界永远是离散的、量子的，不可能是连续的

”，在这样的基础之上只能有一种无穷，对应自然数的无穷，超出这个基础之上也就超出了我们观察的范畴，即系统变得连续而不再可数一个没有可数性的系统也只有一种无穷，对应实数的无穷一个连续统涵盖的东西超出人类意识理解的范围之外，连续统没有可数性，严格的说，它没有所谓“无穷”，只有凌驾于无穷之上的“超穷”。

不可数的东西没有绵延，只有永恒，“超穷”已经超越数量的概念，变成一种固有的性质复数的发现是偶然的，学过初等数学的人都知道，负数是没有平方根的，因为任何实数的平方都是正数但是16世纪意大利米兰学者卡当在解三次方程时首先使用了负数的平方根，笛卡尔把这种似乎不存在的平方根称为“。

虚数”后来的科学家不断的对“虚数”的真实性发出质疑和争论，直到高斯发现二维平面的点的坐标可以用实数和虚数一起来表示，才平息了这些争论，平面内点的坐标代表的数即是复数至此人们终于认识到复数原来对应的是一种二维数集，数系第一次跟维度联系起来，实数对应一维直线上的点，复数对应二维平面上的点。

虽然有人证明了直线上的点与平面上的点能建立一一对应关系，但是我们不能就此认为直线与平面是等价的，这里的关键就在维度“直线上的点”与“平面上的点”的本质不同是“点与点之间关系”的不同，这些点之间的关系正决定了直线不能替代平面。

直线上的点是排列有序的，大数永远在小数的前面，而平面上的点却有着比直线上的点更加复杂的关联性我们无从比较两个复数的大小，而只能比较两个复数范数的大小（范数为“表示该复数的点”到原点的距离的平方），而具有相同范数的复数恰好组成了一个以原点为圆心的圆，而且所有复数都满足两个复数范数的乘积等于两个复数乘积的范数。

也就是说直线与平面只有点的数量是相同的，但在更高的层面却有着更加复杂的性质，即在数的规律背后隐藏着更深层次的规律性，而这也正是维度的性质 复数的发现仅仅是人类认识更高的维度的开始人们发现，1元数a对应实数，在几何中它可以描述为一条直线。

如果把实数做加减运算，相当于直线左右移动；如果把实数做乘除运算，相当于将直线做伸缩或翻转（乘以负数为翻转）2元数（a+bi）对应复数，在几何中它可以描述为平面中的一个点的坐标，将其加上另一个复数a+bi，相当于将该点横向移动a，再往纵向移动b。

而将其乘以一个复数，则是除了将平面移动之外，还将平面进行了旋转乘以i相当于将平面逆时针旋转90度，乘以i再乘以i，相当于将平面转了半圈除法是乘法的相反，除以一个复数，是将放大换成缩小，或是反过来将缩小换成放大，然后再反方向旋转。

大部份对实数能做的操作，对复数也都能做，而且使用复数对于解某些方程来说更加方便 数学家们很快认识到，如果二维的数系能提供我们更大的计算威力，那么为何不考虑扩展到更高维的数系呢？但是这项看起来简单的工作却异常艰难，19世纪的爱尔兰著名数学家哈密顿在研究扩展复数到

三元数a+bi+cj时遇到了难以逾越的困难因为三元数的乘法不能满足“模法则”，而且无法明确的订出ij与ji的关系和值三数平方和定理使三元数出现了定义上的问题，而之后ij的值，更为三元数带来一堆不可解决的问题。

或许，三元数在一开始的想法就是错误的，也有可能它需要另一种超越实数与虚数之外的数来代表ij总之三元数就像一个残次品，没有任何有意义的性质但扩展到四维之后的四元数a+bi+cj+dk却柳暗花明，根据哈密顿记述，他跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1的方程解，哈密顿立刻将此方程刻在附近的布鲁穆桥上，一度成为数学界的趣谈。

如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一个四维空间四元数满足乘法的结合率但是不满足交换率，即ab不等于ba，四元数的“加减乘除”运算可以表示三维空间中物体的运动，其中bi、cj、dk用来描述三个维度上的旋转和缩放，a则用来描述整个三维空间伸缩的程度，也就是说要描述三维空间的物体运动必须上升到四维空间。

数系向高维扩展的脚步并没有停止，1845年阿瑟·凯莱发表了关于八元数的发现，八元数（a+bi+cj+dk+el+fm+gn+ho）是四元数的一个非结合推广，它不满足乘法的结合率，即a(bc)不等于(ab)c。

再往后呢，人们发现这一系列的新的数系满足一个简单的规律，即每一个代数系统的维度都是其前一个的2倍，这样的代数系统构成了一个序列，称为凯莱-迪克森构造，所有通过该过程产生的代数系统，即所谓的凯莱-迪克森代数系

实数、复数、四元数、八元数都是凯莱-迪克森构造的代数系统序列中的一个这四类数都满足两个同样的规律：一是两个数的范数的乘积等于两个数乘积的范数；二是这四类数都可以做“加减乘除”四种运算，我们叫这类数为“赋范可除代数”。

尽管定义允许“赋范可除代数”是无限维的，但事实上并没有，仅有的实数域上的赋范可除代数只有：实数、复数、四元数、八元数即n个平方和与n个平方和的积可以写成n个平方和，仅当n为1,2,4或者8时成立写成数学表达式就是: (a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)= c1^2+c2^2…+cn^2 （当且仅当n=1、2、4、8时） 一个有趣的现象是，在凯莱-迪克森构造的代数系统序列中的每一个代数系统比起其前一个系统，除了拥有更高的维度数之外，都将失去前一个系统所拥有的一个特定性质。

复数比实数缺少了“共轭是其自身” 的代数性质；四元数比复数缺少了“乘法的交换律”；而八元数比四元数则缺少了“乘法的结合律”；十六元数呢，比起八元数，它保留了一个叫幂结合性的代数性质，却‬失去了“代数的交错性”，从而不再是合成代数。

高维数系的扩展让我们看到了越高的维度具有越多的自由度，但是更高的自由度也正损耗着运算赖以存在的基础自由度似乎应该具有某种极限，否则宇宙也许会在物理世界的层次上崩溃数学抽象世界只允许这四种数系“赋范可除”正是宇宙自律的表现，也许只有这些数系能表达我们所在的物理世界，而更高维度的代数只能表达不可观测的世界。

回过头来看一下，我们会发现人类对数的定义与理解都隐含了两个最基本的原则： 1. “离散性原则”（或者叫量子性），即我们认为1是一个基本单元，是一个基础量子，它是一个整体尽管在数学抽象世界中它也是无限可分的，但是在人类的认识中始终认为：分到最后还是有一系列更细微的单元1，因为只有在这个基础上，数才是可数的。

2. “平均性原则”，即我们总认为一个数的下一个一定是增加单元量的，比如1后面是2，2后面是3，3后面是4，依次类推，直至无限不管分数、小数、无理数还是超越数，总是由无数越分越细的单元量组成，这些单元量在同一层次中总是平均分布的，这些层次就是所谓进制。

当第一种原则被打破的时候，我们就有了微积分，微积分体现的是一种连续变化的运算思想，它把无限可分的离散变化过程，重新建立起整体的连续，开创了数学发展史上的革命那么有没有可能打破第二条原则实现数学上新的突破呢？我们可以看到平均性原则造成的结果是进制的确定性，即不论我们采取什么进制，我们总能看到两个不同区间的结构是相同的，这种方式与宇宙的随机性及不确定性是矛盾的，使用这种方式不可能进行不确定性计算，它无法很好的表达不确定的量。

我们是否可以通过引入概率，发展出一种本质不同的数集，我们可以这样构造新的自然数集，“基本单元”我们可以表示为一个不确定的随机量，它后面的数为这个“不确定随机量”增加以这个不确定量为总概率的随机量，依次类推。

比如随机数m为第一个数，那么m为基本单元，基本单元具有这样的性质， 即自身数量的自身相乘与自身相等，数学表示为m^m=m，第二个数为m+mx1，第3个数为m+mx1+mx2，其中x1、x2...xn为0~m之间的随机数，如果x1=x2=x3=…xn=m=1，则生成自然数集。

可以看到，这种数系是比自然数更基本的数系也许使用它我们就能更准确的描述不确定的量，对它的研究是不是能有一些不寻常的发现，是不是能揭示出我们以前对概率的理解其实是建立在“平均律”根深蒂固的影响之中呢？在这样的数系中，传统概率的正态分布、幂律及齐普夫定律的曲线会不会变得平直？是不是因为数的平均化才使得概率分布呈现出曲线呢

？在此基础上，我们甚至可以建立非整数的随机进制，那么有没有可能存在无理数或超越数进制的数？这样的数描述的抽象世界又将是什么样子呢？相信有一天人类能够解开这个谜 我们再来谈谈素数，素数是非常特殊的一类数，它们是构成整个自然数列的基础，它的数学定义是“在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其它自然数整除的数”。

换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数一个更浅显易懂的理解是：“在不破坏苹果的前提下，要想将一个拥有素数个数的苹果堆分成相等的n份的话，每堆里面就只能有1个苹果”从性质上来说1也应该算一个素数，因为它的正因数也只有1和它自身，只不过它自身就是1罢了。

素数分布一直是数学界一个棘手的问题，素数就好像生长在自然数列中的一堆乱草，虽然逐渐稀疏，直到无限，但似乎没有什么规律可言关于素数分布最著名的定理莫过于家喻户晓的歌德巴赫猜想了，它是这样描述的：“任何一个大于2的偶数都是两个素数之和”，意思就是说：“假设有一个任意数量的苹果堆，在不破坏苹果的前提下，只要能把它平分成2个数量一样的苹果堆，就必然能把它分成2个拥有素数个数的苹果堆”。

歌德巴赫猜想一直到现在也没有得到完整的证明，目前为止最接近的证明是中国数学家陈景润先生给出的，从此以后就步履维艰现在我们知道，“歌德巴赫猜想”等价于“素数对称定律”，即“对于任何大于3的正整数m，都至少有一小于m的正整数n存在，使m+n、m-n皆为素数”，简单的说就是：“在任何一个整数前后相同的距离上，总有这么一前一后两个数是素数”。

这个定律展现了素数分布的内禀对称性，这种对称是一种结构对称，它贯穿整个素数系统今天，数学家知道素数的分布与黎曼猜想息息相关，在调和分析的意义下，黎曼ζ函数的零点可视为素数分布的谐波

黎曼ζ函数在临界线Re(s) = 1/2上的实部（红色）和虚部（蓝色） 但不幸的是，黎曼猜想比歌德巴赫猜想更加难以攻克，它是比歌德巴赫猜想更为基本的问题，它关系到数学界很多未解难题的答案著名的数学家希尔伯特曾说，如果他在沉睡1000年后醒来，他问的第一个问题便是：黎曼猜想是否已经得到证明？到目前为止，90多岁的英国著名数学家迈克尔·阿蒂亚宣称的自己对黎曼猜想的证明，在数学界仍然不太明朗。

素数分布也许正体现了抽象世界的两条最基本的法则：随机性与对称性素数的分布是一种随机对称，也许它根本不可能用普通的代数公式表达在内禀对称的前提下，素数分布总是随机的和无规则的随机与对称即是矛盾，又是一种有机的组合，素数就是这个有机组合的整体。

对称性与随机性在素数结构内部互相争斗，谁也战胜不了谁，整体的素数结构就在这种抗争与平衡中被永恒的确定下来素数集的内部对称性及自相似性一定隐含着更微妙的迭代及更复杂的维度，也许它注定无法定量描述而只能定性描述。

在诸多的数中，还有两个数是非常特殊的，它们是圆周率π、自然对数的底数e，再加上i、1、0，就组成了5个关乎数学基础的组合，几乎所有重要的数学理论及物理定律都离不开它们自然对数的底数 e＝1＋1/1!＋1/2!＋1/3!＋…，它的值约等于2.718281828…，它是一个超越数。

因为以e为底数，很多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以又叫它“自然对数”，塑造自然界物质形态的的涡形与螺线形都与e息息相关e也可以用一个极限得出，即(1+1/x)^x，不管x趋向于正无穷大还是趋向于负无穷大，它都等于2.71828……，这也体现了大自然内禀的对称及物极必反的道理。

圆周率π是圆周长和直径的比值，约等于3.141592654…..，它也是超越数π可以严格地定义为满足sin(x) = 0的最小正实数x，它跟圆密切相关，而圆也是自然界最节省资源的精巧结构，在有限的周长下，圆围成的面积总是最大的。

i是虚数的基本单位，它是1在其他维度的镜像，有多少维度，就有多少个不同类型的i，i代表着对“旋转”的度量1是自然数的基本单位，实数集中所有的数都通过1的扩展来表达，1代表着对“延伸”的度量而0是无量之量，它无形无象，又包罗万象。

这些最简单、最直观的数中蕴含着最深刻的规律， 0、1 、i 、π、e这5个数概括了整个世界的空无、延伸、旋转、和谐圆通以及螺旋上升伟大的数学家欧拉发现了它们之间的关系，数学家们评价它是“上帝创造的公式”：

它实际上是e^ix=cosx+isinx当x=π时的特殊情况，这个公式也揭示了三角函数与指数函数之间的关系欧拉的公式使我们对抽象世界有了新的认识，它表明在抽象世界中不同维度看似不相关的量之间其实存在着紧密的联系及变换关系。

虚数i*i=-1，说明了在不同维度上的运算有着完全不同的意义，数轴上的运算对应着拉伸和收缩，二维的运算则包含着旋转，i*i是将单位量逆时针90度旋转2次，运算结果就正好等于-1我们可以尝试这样理解欧拉公式，将x轴上坐标为（e，0）的点绕着原点在二维空间以90度角螺旋盘转π次，坐标就变成了（-1，0）。

关于数的扩展也许人类还远没有走到终点，但是人们在对数的研究中却发现了比数更加重要的东西，这就是结构数只是某种表像，隐藏在其背后的是抽象世界的内禀结构，这些结构才是数的本质人类由此实现了跨越，开始转向对基本结构的研究，也就是“群”。