这是一个没有定论的问题我个人是支持自然数包含「0」的，并且：中国于1993年制定的强制性国家标准《物理科学和技术中使用的数学符号》(GB 3102.11-93)，参照国际标准ISO 31-11规定：N=

{0,1,2,3,…}displaystyle mathbb {N} ={0,1,2,3,ldots }\----维基百科下面尝试描述下关于这个问题的各个方面1 现实生活数数的时候，我们一般从1开始数：。

尺子却是从0开始丈量：

那么是从“0”开始“自然”，还是从“1”开始“自然”，在不同历史不同文明中颇有争论。我们看看数学家是怎么认识这个问题的？2 皮亚诺公理

朱塞佩·皮亚诺 （1858－1932）是意大利数学家、逻辑学家、语言学家。他在1889年发表的《算术原理新方法》中提出了定义自然数的五个公理，史称皮亚诺公理：

从这篇历史文献来看，公理明确指出自然数是从1开始的，翻译为易读的语言大概是（关于这五个公理的详细解释请参考“为什么1+1=2，需要证明？”，不过此文是从0开始介绍自然数的）：公理1：1是自然数公理2：每一个确定的自然数。

aa ，都有一个确定的后继数a′a ，a′a 也是自然数公理3：1不是任何自然数的后继数公理4：不同的自然数有不同的后继数公理5：任意关于自然数的性质，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数aa

为真时，可以证明它对a′a 为真，那么命题对所有自然数都真。简而言之，皮亚诺公理通过1和它的后继数们，构成了自然数：

这些自然数在不同的文化中有不同的命名：阿拉伯数字：英文：中文：一，二，三，1,1″,1‴,⋯⟶{阿拉伯数字：1,2,3,⋯英文：one,two,three,⋯中文：一，二，三，⋯⋯1,1,1,cdotslongrightarrowegin{cases} 阿拉伯数字：1,2,3,cdots\ quad\ 英文：one,two,three,cdots\ quad\ 中文：一，二，三，cdots\ quad\ cdotsend{cases}\

很显然，就上述五个公理而言，从0开始还是从1开始都是符合的：

哪怕从22开始都可以，不过从22开始很不符合常识，这个就不讨论了那么究竟应该0还是从1开始自然数呢？3 加法3.1 加法、减法、整数有了皮亚诺公理，就比较容易定义加法了（关于加法的定义，请参考这篇文章，下面的用法比较通俗，可能产生混淆）：

那么如果有0的话，可以这么来表示“原地踏步”：

抵消相加效果，使之“原地踏步”的运算，就是加法的逆运算，减法（其实可以跳过“原地踏步”这个定义，可自行思考）：

我觉得更有用的是，有了0之后，还可以定义相反数：m+n=0m+n=0\则m,nm,n 为相反数。这样就可以通过加法，把自然数扩展到整数：

3.2 群论上面说的并不严格，从群论角度更严格一些（关于群论请参考如何通俗地理解群论？）首先来看下半群：半群，是一个集合GG，连同一个运算“⋅cdot”，它结合任何两个元素aa和bb而形成另一个元素，记为。

a⋅bacdot b：1，封闭性：对于a,b∈Ga,bin G，有a⋅b∈Gacdot bin G2，结合性：对于所有a,b,c∈Ga,b,cin G，有(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)

在半群基础上，增加：幺半群，除了半群的性质外，增加：1，单位元：存在e∈Gein G，使得对于所有GG中的元素aa，有e⋅a=a⋅e=aecdot a=acdot e=a幺半群的基础上，增加：群，除了幺半群的性质外，增加：

1，逆元：对于a∈Gain G，存在b∈Gbin G，使得a⋅b=b⋅a=eacdot b=bcdot a=e，其中ee是单位元半群、幺半群、群之间的关系是：半群单位元幺半群逆元群半群→单位元幺

半群→逆元群半群xrightarrow{quad单位元quad}幺半群xrightarrow{quad逆元quad}群\群的性质好于幺半群，好于半群可见“0”在其中起到了重要作用，在这里，“0”比“1”要重要。

3.3 自然数与群论如果自然数从1开始，结合上加法，那么满足：封闭性：对于a,b∈Na,bin mathbb{N} ，有a+b∈Na+bin mathbb{N} 结合性：对于所有a,b,c∈Na,b,cin mathbb{N}

，(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)此时定义出来的自然数是一个半群增加加法的单位元：m+0=mm+0=m\此时定义出来的自然数是一个幺半群，自然数需要从0开始增加加法的逆元：。

m+n=0m+n=0\可以得到整数，这是一个完整的群因此从开始的自然数从开始的自然数整数从1开始的自然数→m+0=m从0开始的自然数→m+n=0整数从1开始的自然数xrightarrow{quad m+0=m quad}从0开始的自然数xrightarrow{quad m+n=0 quad}整数\。

我想，这大概是一部分数学家支持自然数包含0的主要原因4 另外的构造方式除了皮亚诺公理以外，还有等效的构造方式Zermelo-Fraenkel的构造方式：0=∅1={0}={∅}2={1}={{∅}}3=

{2}={{{∅}}}⋯⋯ 0=arnothing\1={0}={arnothing}\ 2={1}={{arnothing}}\3={2}={{{arnothing}}}\ cdotscdots\

Von Neumann的构造方法：0=∅1=0∪{0}={0}={∅}2=1∪{1}={0,1}={∅,{∅}}3=2∪{2}={0,1,2}={∅,{∅},{∅,{∅}}}⋯⋯ 0=arnothing\ 1=0cup{0}={0}={arnothing}\ 2=1cup{1}={0,1}={arnothing,{arnothing}}\3=2cup{2}={0,1,2}={arnothing,{arnothing},{arnothing,{arnothing}}}\ cdotscdots\

构造都是从∅arnothing 开始，所以一般都会认为是从0开始的5 总结当然，如果自然数不包含0，至少有以下好处：1x,x∈Nrac{1}{x},xinmathbb{N} ，总是成立xy,

x∈R,y∈Nx^y,xinmathbb{R},yinmathbb{N} ，总是成立国外有些教材好像自然数不包含0，最保险的或许如下表示包含0或者不包含0：Z≥0Z≥1mathbb{Z}_{geq 0}quadmathbb{Z}_{geq 1}\

其中，Zmathbb{Z} 是整数。文章最新版本在（有可能会有后续更新）：自然数到底是否包括「0」？跟着马同学，看图学数学，欢迎加入马同学图解数学课程

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